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이 기사에서는 시행 착오가 진행되고 분해가 진행된다 "트리플 게임"두 사각형의 차이 이차 공식 사용 계산기 사용
다항식은 다항식의 차수라고하는 특정 거듭 제곱으로 증가 된 변수 (x)와 더 낮은 차수 및 / 또는 다른 몇 가지 상수로 구성됩니다. 2 차 다항식 ( "이차 방정식"이라고도 함)을 인수 분해한다는 것은 초기 표현을 더 작은 각도의 곱으로 곱한 다음 곱할 수 있음을 의미합니다. 이 지식은 고등학교 과정 등의 일부이므로, 필요한 수준의 수학이 없다면이 기사를 이해하기 어려울 수 있습니다.
단계
시작하려면
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당신의 표현을 쓰십시오. 2 차 방정식의 표준 형태는 다음과 같습니다.도끼 + bx + c = 0
표준 형식에서와 같이 최대에서 최소로 거듭 제곱의 순서에 따라 방정식의 항을 정렬하는 것으로 시작하십시오. 예를 들어 보자.6 + 6x + 13x = 0
용어를 간단히 이동하여 작업을 용이하게하기 위해이 표현을 재 배열 할 것입니다.6x + 13x + 6 = 0입니다. -
아래 설명 된 방법 중 하나를 사용하여 인수 분해 된 형태를 찾으십시오. 인수 분해는 두 개의 짧은 표현을 제공하여 초기 다항식을 서로 곱하면 초기 다항식을 제공합니다.6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
이 예에서 (2x +3) 및 (3x + 2)는 요인 초기 표현의 6x + 13x + 6. -
작업을 확인하십시오! 식별 한 요인을 곱하십시오. 그런 다음 유사한 용어를 결합하면 완료됩니다. 로 시작 :(2x + 3) (3x + 2)
이 표현식의 테스트를 시작하여 두 표현식의 항을 곱하여 다음을 얻습니다.6x + 4x + 9x + 6
여기에서 4x와 9x는 같은 정도의 용어이므로 더할 수 있습니다. 우리는 출발의 표현에 잘 빠지기 때문에 우리의 요소가 옳다는 것을 알고 있습니다.6x + 13x + 6.
방법 1 시행 착오에 의해 진행
상당히 간단한 다항식을 다루는 경우 분해를 요인 제품으로 한눈에 찾을 수 있어야합니다. 예를 들어, 많은 수학자들이 그 표현을 볼 수 있습니다 4x + 4x + 1 습관과 경험으로 요인 (2x + 1) 및 (2x + 1)을 제공합니다 (분명히 복잡한 다항식의 경우에는 그렇게 간단하지 않습니다). 이 예에서는 덜 일반적인 표현을 보겠습니다.
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계수 계수 목록 작성 이 과 C. 양식 표현 사용 도끼 + bx + c = 0계수를 식별 이 과 C 해당 요소를 나열하십시오. 3x + 2x-8의 경우 다음을 제공합니다.a = 3이고 한 쌍의 요인 만 있습니다 : 1 * 3 c = -8 및 네 쌍의 요인 : -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 및 -1 * 8 .. -
종이에 쓸 공간이있는 두 쌍의 괄호를 씁니다. 제공된 공간에 각 표현식의 상수를 입력합니다.(x) (x). -
x 전에 계수에 대한 가능한 요인 쌍을 작성하십시오 이. 계수 이 이 예에서 3x는 단 하나의 가능성이 있습니다.(3x) (1x)입니다. -
그런 다음 나머지 두 빈 공간을 계수에 대한 한 쌍의 요인으로 채 웁니다. C. 예를 들어 8과 1을 보자.(3 배8) (X1). -
이제 사인을 결정하십시오 (더 또는 적게)를 입력 한 후 x와 그 뒤에 배치 된 숫자 사이에 배치합니다. 원래 표현의 부호에 따르면 상수의 부호가 무엇인지 찾아 낼 수 있습니다. 전화 시간 과 케이 우리의 요인의 상수 :ax + bx + c이면 (x + h) (x + k) ax-bx-c 또는 ax + bx-c이면 (x-h) (x + k) ax-bx + c이면 (x-h) (x-k)
이 예에서 3x + 2x-8의 부호는 다음과 같은 방식으로 배치해야합니다. (x-h) (x + k)는 다음 두 가지 요소를 제공합니다.(3x + 8) 및 (x-1). -
다시 개발하여 팩토링 된 양식을 확인하십시오. 첫 번째 빠른 테스트는 중기 값이 올바른지 확인하는 것입니다. x가 좋지 않으면 계수에 대해 잘못된 요인 쌍을 선택했을 수 있습니다. C. 결과를 확인하자 :(3x + 8) (x-1)
곱셈을함으로써 우리는 다음을 얻습니다.3x-3x + 8x-8
이 표현을 단순화하기 위해 유사한 용어 (-3x)와 (8x)를 추가하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.3x-3x + 8x-8 = 3x + 5x-8
이제 우리는 잘못된 요소를 식별했을 것입니다.3x + 5x-8 ≠ 3x + 2x-8. -
필요한 경우 선택한 요소를 교환하십시오. 이 예에서는 1과 8 대신 2와 4를 사용해 봅시다.(3x + 2) (x-4)
이제 우리의 계수 C -8이지만 곱셈 (3x * -4) 및 (2 * x)는 -12x 및 2x를 제공하며, 항상 초기 값을 제공하지는 않습니다. B즉, + 2x입니다.-12x + 2x = 10x 10 배 ≠ 2 배 -
필요한 경우 순서를 반대로하십시오. 이 예에서는 2와 4의 위치를 반전시킵니다.(3x + 4) (x-2)
이제 계수 C 항상 좋습니다, 그러나 x의 항의 계수는 이번에는 -6x와 4x의 가치가 있습니다. 추가되면 다음을 제공합니다.-6x + 4x = -2x 2x ≠ -2x 우리가 찾고자하는 초기 값 인 2x에 매우 가깝지만 부호는 좋지 않습니다. -
필요한 경우 표시를 다시 확인하십시오. 이제 동일한 순서를 유지하지만 표지판을 교환합니다.(3x-4) (x + 2)
전 계수 C 항상 좋으며 x의 항은 이제 (6x)와 (-4x)의 가치가 있습니다. 이후 :6x-4x = 2x 2x = 2x 그래서 우리는 원래 가지고 있던 2x를 얻습니다. 그래서 우리는 아마도 올바른 요소를 찾았습니다.
방법 2 분해로 진행
이 방법을 사용하면 계수를 얻기 위해 가능한 모든 요소를 식별 할 수 있습니다 이 과 C 그것들을 사용하여 어떤 요소가 올바른지 파악하십시오. 숫자가 너무 크거나 다른 시행 착오 방법이 너무 길면이 방법을 사용할 수 있습니다. 다음 예제를 보자.
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계수 곱하기 이 계수에 의해 C. 이 예에서는 이 6과 같고 C 또한 6과 같습니다.6 * 6 = 36. -
계수 찾기 B 획득 한 요인을 인수 분해 한 다음 테스트하여 우리는 제품의 요인 인 두 개의 숫자를 찾고 있습니다 이 * C 우리가 식별하고 그 합이 계수 "b"(13)의 가치가있는 것입니다.4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
방금 방정식에 넣은 두 개의 숫자를 소개하십시오. 합계를 계수와 같도록 x 앞에 배치하십시오. B. 편지를 보자 케이 과 시간 4와 9의 두 숫자를 나타냅니다.도끼 + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6. -
그룹화하여 다항식을 인수 분해합니다. 첫 두 항의 최대 공약수와 마지막 두 항의 최대 공약수를 찾도록 방정식을 구성합니다. 그런 다음 두 개의 동일한 인수 분해 된 형태의 합계를 가져와야합니다. 두 계수를 합산하여 인수 분해 된 양식 앞에 괄호로 묶습니다. 그런 다음 두 가지 요소를 얻습니다.6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2)입니다.
방법 3 "트리플 게임"
이 방법은 이전 방법과 매우 유사합니다. 이것은 계수의 곱에 대한 가능한 요소를 검사하는 것으로 구성됩니다 이 과 C을 사용하여 B. 예를 들어 다음 방정식을 보자.
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계수 곱하기 이 계수에 의해 C. 분해 방법과 마찬가지로 계수의 잠재적 후보를 식별하는 데 도움이됩니다. B. 이 예에서는 이 8과 같고 C 가치가 2입니다.8 * 2 = 16. -
곱이 앞에서 찾은 수 (16)이고 합이 계수 "b"를 나타내는 두 숫자를 찾으십시오. 이 단계는 분해 방법의 단계와 동일합니다. 즉, 상수 후보를 테스트하고 거부합니다. 계수의 곱 이 과 C 16과 같고 계수 C 10과 같습니다 :2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
이 두 숫자를 "트리플 플레이"공식으로 바꾸십시오. 이전 단계에서 두 개의 숫자를 가져 와서 전화 해 봅시다. 시간 과 케이 -다음 식으로 소개하십시오.((ax + h) (ax + k)) / a
우리는 다음을 얻습니다.((8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
분자의 괄호 식 중 계수로 나눌 수있는 것을 찾으십시오. 이. 이 예에서는 (8x + 8) 또는 (8x + 2)를 8로 나눌 수 있는지 테스트합니다. (8x + 8)을 8로 나눌 수 있으면이 식을 이 다른 표현은 그대로 둡니다.(8x + 8) = 8 (x + 1)
우리가 여기서 유지하는 표현은 계수로 나눈 후에 남는 표현입니다. 이 : (x + 1). -
두 괄호에서 더 큰 공통 요소를 찾으십시오. 이 예에서 두 번째 표현식은 8x + 2 = 2 (4x + 1)이므로 공통 계수가 2입니다. 이 답변을 이전 단계에서 찾은 표현과 결합하십시오. 따라서 다항식의 두 가지 요소를 발견했습니다.2 (x + 1) (4x + 1).
방법 4 두 사각형의 차이
다항식의 일부 계수는 "제곱", 즉 두 숫자의 곱의 곱으로 식별 될 수 있습니다. 이 제곱을 식별하면 일부 다항식을 훨씬 빠르게 분해 할 수 있습니다. 예를 들어 방정식을 보자.
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가능하다면 모든 것을 더 큰 공통 요소로 고려하여 시작하십시오. 이 예에서 27과 12는 둘 다 3으로 나눌 수 있으므로 다음과 같이 초기 표현식을 "버스트"할 수 있습니다.27x-12 = 3 (9x-4). -
방정식의 계수가 제곱수인지 확인하십시오. 이 방법을 사용하려면 계수에 대한 제곱근을 찾을 수 있어야합니다 (음수 부호는 고려하지 않습니다. 우리는 제곱을 다룰 때 두 개의 양수 또는 음)9x = 3x * 3x 및 4 = 2 * 2. -
찾은 제곱근을 사용하여 요인을 작성하십시오. 의 가치를 이 그리고 C 이전에 발견- 이 = 9 C = 4-제곱근을 찾기 전에-√이 = 3과 √C = 2. 다음은 우리의 인수 분해 표현의 계수입니다.27x-12 = 3 (9x-4) = 3 (3x + 2) (3x-2)
방법 5 2 차 공식 사용
위의 모든 방법이 실패하고 방정식의 올바른 인수를 찾을 수없는 경우 2 차 공식을 사용하십시오. 다음 예제를 보자.
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계수 "a", "b"및 "c"의 값을 취하여 다음 2 차 공식으로 바꾸십시오.x = -b ± √ (b-4ac)
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2A
그런 다음 표현을 얻습니다.x = -4 ± √ (4-4 • 1 • 1) / 2. -
방정식을 풀어 x를 구합니다. 위에서 볼 수 있듯이 x의 두 값을 가져와야합니다.
x = -2 + √ (3) 또는 x = -2-√ (3). -
x 값을 사용하여 인수를 찾으십시오. 이전에 얻은 두 개의 다항식 상수의 x 값을 입력하십시오. 이것들이 당신의 요인이 될 것입니다. 전화 시간 과 케이 x의 값을 고려하여 다음과 같은 두 가지 요소를 씁니다.(x-h) (x-k)
이 경우 최종 결과는 다음과 같습니다.(x-(-2 + √ (3)) (x-(-2-√ (3)) = (x + 2-√ (3)) (x + 2 + √ (3)).
방법 6 계산기 사용
그래프 계산기를 사용할 수있는 경우, 특히 시험 중에이 기능을 사용하면 작업을 매우 쉽게 수행 할 수 있습니다. 이 지침은 Texas Instruments 브랜드의 그래픽 계산기에만 유효합니다. 예를 들어 다음 방정식을 보자.
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계산기에 방정식을 입력하십시오. "분해능 방정식", 즉 화면을 사용해야합니다. -
계산기에서 방정식을 그래픽으로 표현하십시오. 방정식을 입력 한 후을 누릅니다. 그러면 곡선의 그래픽 표현이 나타나는 것을 볼 수 있습니다 (보다 정확하게는 다항식에서 작업하기 때문에 "호"가 나타납니다). -
x 축 (x)과 호의 교점을 찾습니다. 다항식은 전통적으로 ax + bx + c = 0 형식으로 작성되므로식이 0 인 x의 두 값입니다.(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2 - 곡선이 x 축을 가로 지르는 위치의 값을 읽을 수 없으면를 누릅니다. "0"을 누르거나 선택하십시오. 교차로 중 하나의 왼쪽으로 커서를 이동하고를 누르십시오. 그런 다음 커서를이 교차점의 오른쪽으로 이동하고 다시 누르십시오. 그런 다음 커서를 가능한 한 교차점에 가깝게 이동하고 다시 누릅니다. 계산기는 x의 값을 찾습니다. 다른 교차로에도 동일한 작업을 수행하십시오.
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마지막으로, 이전 단계에서 얻은 x 값을 2 단계 식으로 소개합니다. 우리가 전화하면 시간 과 케이 x의 두 값은 다음 표현식을 사용합니다.(x-h) (x-k) = 0
따라서 다음 두 가지 요소가 있습니다.(x-(-1)) (x-2) = (x + 1) (x-2)입니다.
- 연필
- 종이
- 2 차 방정식 (또는 2 차 방정식)
- 그래프 계산기 (선택 사항)